Родился в Харькове 24.08.1914 года. И в этом же году стал одесситом - его родители переехали в Одессу. Перед войной, в 1939 году закончил Одесский институт инженеров водного транспорта. Еще будучи студентом организовал в 1936 г. секцию альпинизма при Одесском областном комитете физкультуры и спорта. Возглавлял ее до лета 1941 года, а потом еще 30 лет, начиная с 1946 г. 
Был организатором и руководителем альпинистских сборов и научно-спортивных экспедиций в Крым, Карпаты, Кавказ и, наконец, Памир, который он полюбил ещё в 1938 году, когда вместе с биологом А.Е. Шевалёвым прошёл по Памиру с запада на восток, разыскивая путь через грандиозный завал, образовавшийся на месте погибшего озера. Впоследствии альпинисты назвали на Памире именем Блещунова один из пиков и перевал.
В 1940 г. Он организовал научно-спортивную экспедицию на Памир, где были созданы стационарные исследования физиологии человека и растений на высоте 6 тыс. м. Кроме этого, группа альпинистов под руководством А.В. Блещунова впервые пересекла хребет Академии Наук и открыла верховья ледника Бивачного на Памире. Значение научной части экспедиции было столь велико, что в начале 1941 г. АН СССР обратилась в Одесский областной ФК и Спорта с просьбой организовать силами одесских альпинистов ещё одну экспедицию на Памир для исследования космических лучей. Но организацию этой экспедиции прервала война.
Александр Владимирович прошёл славный путь от Сталинграда до Берлина, а после войны вновь занялся любимым делом. За все эти годы он подготовил тысячи разрядников по альпинизму, 70 мастеров спорта, свыше 30 кандидатов в мастера спорта, десятки инструкторов альпинизма.
В 1989 году он подарил городу свою коллекцию произведений искусств, на базе которой был создан музей и до конца жизни оставался его заведующим